\section{数学环境实例}

\subsection{行内公式与行间公式}

Newton第二定律，高中生喜欢写$f=ma$, 而大学生则经常写$\displaystyle{f=m\fracode{v}{t}}$。定积分
$\displaystyle{\int^b_a g(x)\dif x}$可以用$G(b)-G(a)$来计算，其中$g(x) = \fracode{G(x)}{x}$。

你喜欢线性代数吗？我写个线性方程给你看看
\begin{equation}
\mat{A} \vec{x}= \vec{b}, \quad \mat{A}\in \ES{R}{n}{n}, \vec{x}\in \ES{R}{n}{1}
\end{equation}
特殊地，可以是
\begin{equation}
\mat{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3 
\end{bmatrix},\quad
\vec{x}=\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2
\end{bmatrix}, \quad
\vec{b} =\begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix}
\end{equation}

\subsection{公式对齐}

这里有几个等式
\begin{equation}
\begin{split}
\int^b_a f(x)\dif x 
& = \int^b_a f(t)\dif t \\
& = \int^c_a f(x)\dif x + \int^b_c f(x)\dif x, \quad c\in [a,b] 
\end{split}
\end{equation}
还有别的等式
\begin{align}
\sum^n_{i=0} x^i 
&= 1 + x + \cdots + x^n \\
&= 1 + x(1 + x + \cdots + x^{n-1}) \\
& = 1 + x \sum^{n-1}_{j=0} x^j
\end{align}

概率公式: 对于$X\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, 可以得到
\begin{align}
\Prob(a \le X \le b) 
&=\Prob\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\le \frac{X-\mu}{\sigma}\le
  \frac{b-\mu}{\sigma} \right) \\
&= \int^{\frac{b-\mu}{\sigma}}_{\frac{a-\mu}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\me^{-x^2/2}\dif x \\
& = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right) 
\end{align}


\subsection{特殊环境}


这里有一个数学定义
\begin{definition}
对于函数$f: \Real \to \Real$, 如果它在点$x_0$处连续，那么它在该点处的导数规定为
\begin{equation}
f'(x_0) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
\end{equation}
\end{definition}

\begin{definition}[内积]
$\ES{R}{n}{1}$上的内积规定为
\begin{equation}
\braket{\vec{a}}{\vec{b}} = \sum^n_{i=1} a_ib_i, \quad \forall \vec{a}, \vec{b}\in \ES{R}{n}{1}
\end{equation}
\end{definition}

写一个数学定理看看
\begin{theorem}
设直角三角形的直角边长分别为$a$与$b$, 斜边长为$c$, 那么
\begin{equation}
a^2 + b^2 = c^2
\end{equation}
\end{theorem}


写一个命题看看
\begin{proposition}
对于$\vec{a},\vec{b}\in \ES{R}{n}{1}$, Cauchy-Schwartz不等式成立
\begin{equation}
\abs{\braket{\vec{a}}{\vec{b}}}\le \norm{\vec{a}}\cdot \norm{\vec{b}}
\end{equation}
\end{proposition}



写一个例子看看

\begin{example}
定积分的可加性:
$$
\int^2_0 \sin \pi x \dif x = \int^1_0 \sin(\pi x) \dif x + \int^2_1 \sin(\pi x) \dif x
$$
\end{example}

\begin{example} 导数运算
\begin{align}
\fracode{[f(x)g(x)]}{x} 
&= f(x)\cdot \frac{g(x)}{x} + \fracode{f(x)}{x}\cdot g(x) \\
\fracpde{(uv)}{x}& = \fracpde{u}{x}v + u\fracpde{v}{x}\\
\nabla^2u(x,y,z)& = \lap{u}{x} + \lap{u}{y} +\lap{u}{z}
\end{align}
\end{example}

\begin{lemma} 如果对于任意的$f\in C[a,b]$, 等式
$$
\int^b_a g(x)\delta f(x)\dif x = 0
$$
成立，那么$g(x)\equiv 0$.
\end{lemma}

\begin{property}[反对称性]
对于$\vec{a},\vec{b}$, 可以得到
$$
\det(\vec{a},\vec{b}) = - \det(\vec{b},\vec{a})
$$
\end{property}

\begin{property}[可加性]
对于$\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in \ES{R}{2}{1}$, 可以得到
$$
\det(\vec{a}+\vec{b},\vec{c}) = \det(\vec{a},\vec{c}) +\det(\vec{b},\vec{c})
$$
\end{property}

\begin{property}[多重线性]
对于$\vec{a}_1,\vec{a}_2\in \ES{R}{2}{1}$以及$\lambda_1, \lambda_2\in\Real$, 可以得到
$$
\det(\lambda_1\vec{a}_1,\lambda_2\vec{a}_2) = \lambda_1\lambda_2 \det(\vec{a}_1,\vec{a}_2)
$$
\end{property}


\begin{corollary}
对于$\vec{a},\vec{b}\in \ES{R}{n}{1}$, 有
$$
\norm{\vec{a}+\vec{b}}^2 + \norm{\vec{a}-\vec{b}}^2 =2(\norm{\vec{a}}^2 +\norm{\vec{b}}^2)
$$
\end{corollary}

\proof 你来证明吧